این پست ثابت است و مطالب در زیر این پست منتشر می شوند

وب کانون ریاضی دانش مجموعه ای از:

• سوالات مهم                     
• اخبار اموزشگاه                  
• شگفتی ها و عجایب ریاضی 
• سرگرمی های جذاب ریاضی 

برای ورود به بخش های مختلف بر روی لینک مورد نظر خود کلیک کنید.

حساب

                  هـنـدسـه

                                       آرشیو اخبار

                                                                       عجایب ریاضی

                                                                                                                سرگرمی ریاضی

برای مشاهده مطالب مقاطع تحصیلی مختلف بر روی لینک مورد نظر کلیک کنید.

ابــتــدایـــی

راهــنـمایــی

دبیرستان

در این مقاله،محاسبه ی سریع نوع خاصی از ضرب را مورد بررسی قرار می دهیم .

فرض كنید ماشین حسابی 8 رقمی در اختیار داریم و می خواهیم ضرب 99999×11111را انجام دهیم .چون این ماشین حساب از انجام آن عاجز است پس باید محاسبه ای وقت گیر روی كاغذ انجام دهیم.

روش یاد شده برای ضرب های بزرگ تر از این نوع نیز كار می كند به شرط آن كه تعداد ارقام عوامل ضرب برابر باشند.

مثال :حاصل ضرب 999999×111111 را محاسبه كنید .
1) 11111
2) 111110
3) 11111088888
4) 111110888889 (حاصل ضرب)

تمرین : صد تا 1 و صد تا 9 نوشته و آن ها را در هم ضرب كنید . 

اگر جای 1 ها را با یكی از اعداد 2 تا 8 عوض كنیم باز هم روش یاد شده كار می كند فقط باید جاهایی كه 1 ها با رنگ قرمز مشخص شده اند را با یكی از اعداد 2 تا 8 جایگزین کنیم.

مثال : حاصل ضرب 99999×22222 را محاسبه كنید .

1) یكی از تعداد 2 ها كم كنید و باقی مانده ی 2 ها را بنویسید .  2222
2) یك 1 (1-2) در سمت راست عدد فوق اضافه كنید .  22221 
3) از تعداد 9 ها یكی كم كنید و به تعداد باقی مانده ی 9ها عدد 7(2-9) در سمت راست عدد فوق اضافه كنید .  222217777  
4) یك 8(2-10) در سمت راست عدد فوق اضافه كنید،عدد به دست آمده برابر حاصل ضرب است .  2222177778  
 

مثال : حاصل ضرب 9999×3333 را محاسبه كنید .
هر جایی كه در مثال فوق با رنگ قرمز مشخص شده است را 3 قرار دهید .

1) 333
2) 3332
3) 3332666
4) 33326667 (حاصل ضرب )

مثال : حاصل ضرب 99×44 را محاسبه كنید .
هر جایی كه در فوق با رنگ قرمز مشخص شده است را 4 قرار دهید.

1) 4
2) 43
3) 435
4) 4356( حاصل ضرب )

مثال :حاصل ضرب 9999999×7777777 را محاسبه كنید .
هر جایی كه درمثال فوق با رنگ قرمز مشخص شده است را 7 قرار دهید .

1 ) 777777
2) 7777776
3) 7777776222222
4) 77777762222223 ( حاصل ضرب )

تمرین :حاصل ضرب های زیر را به دست آورید :

99999999×66666666 , 9999×8888 , 99999×55555

دویست تا 4 و دویست تا 9 نوشته و آن ها را در هم ضرب كنید .

منبع:
http://mathforum.org

اثبات بدون كلام  : 

دو حالت خاص : 

بازی مكعب های رنگی با چهار مکعب انجام می گیرد.ابتدا وجه های مکعب هارا رنگ می کنیم.دررنگ آمیزی وجه های هر مکعب، تمام رنگ های قرمز(R)،سفید(w)،آبی(B)،زرد(Y)،به کار رفته اند.مامی توانیم این چهارمکعب را به صورت های مختلفی رنگ آمیزی کنیم،که در این جا برای نمونه، شکل 1 را آورده ایم .

هدف این بازی، چیدن این مکعب ها در یک ستون است به طوری که در هر طرف این ستون، هر چهار رنگ(مختلف)دیده شوند. به روش های مختلف می توان این مكعب ها را روی هم چید، با این وجود ممكن است حتی یك جواب هم نداشته باشیم .
قبل از حل ،شما را با چند مفهوم ساده ی نظریه ی گراف آشنا می کنیم.
تعریف گراف: یک گراف شامل یک مجموعه ی V از راس هااست که با یک مجموعه ی E متشکل از زیر مجموعه های 2 عضوی V که یال نامیده می شوند،جفت شده اند.

مثال:
   { V  = { a,b,c,d   

   {{ E ={{a,b},{a,d},{d,c},{c,b},{b,d

واصطلاحا" می گوییم یال های {a,b}و {a,d}از راس a خارج (یا به آن وارد)شده اند.
تعریف طوقه:یالی كه از راسa به خودش رسم می شود را یک طوقه می نامند و با  {a} نمایش می دهند .

تعریف زیر گراف:زیر گراف، گراف G ،گرافی است که مجموعه ی راس ها ویال هایش،زیر مجموعه ی راس ها ویال های گراف G باشد.
حال به حل مساله می پردازیم.

در جریان حل این مساله ، گراف ما را یاری می کند که وضعیت را بهتر مجسم کنیم.در شکل 2 گرافی با چهار راس R,W,B,Y داریم.برای کشیدن گراف مربوطه،در هر مکعب هر سه جفت وجه روبه روی هم را بررسی می کنیم.مثلا" در مکعب(1)دو وجه روبه روی هم زرد وآبی هستند.پس یالی بین راس Y و راس B رسم می کنیم و آن را با (1) (که نشان گر مکعب 1 است)نشان می دهیم.دو یال دیگری که در این گراف با (1) نشان شده اند،متناظر دو وجه سفید و زرد و دو وجه قرمز وسفیدمکعب 1 هستند که روبروی هم می باشند. همین کار را برای مکعب های دیگر نیز انجام داده ایم وبه گراف شکل (2) رسیده ایم.برای طوقه ها نیز به همین روش،مثلا" طوقه ای که در راس B با 3 نشان گذاری شده است،دو وجه آبی روبه روی هم رادر مکعب3 نشان می دهد. این گراف 12 یال دارد و این یال ها به 4دسته ی3تایی تقسیم می شوند که یال های هر دسته با شماره ی یکی از مکعب ها،نشان گذاری شده است.در هر راس، تعداد یال هایی که از آن راس خارج یا به آن واردمی شوند،برابر است باتعداد وجه هایی از هر چهار مکعب که به آن رنگ هستند.(هر طوقه را دوبار می شماریم.)بنابراین گراف شکل (2)به ما می گوید که در این چهار مکعب،5 وجه قرمز،7 وجه سفید،6 وجه آبی و 6 وجه زرد داریم.

چهار مکعب را كه در یک ستون، روی هم قرار گرفته اند،درنظر می گیریم و طرفین روبه روی هم در این ستون را بررسی می کنیم. برای دو طرف روبه روی هم در این ستون، یک زیر گراف از این گراف را متناظر می کنیم،با این خاصیت که :این زیر گراف دارای چهار راس(رنگ) و چهار یال بوده و هر نشان یک بار به کار رود.(در این زیر گراف، متناظر با هر راس ، دو یال قرار دارد.)حال اگر بتوانیم نتیجه ی مشابهی را برای دو طرف دیگر این ستون به دست آوریم حل مساله تمام است.برای این کار به زیر گراف دوم، مشابه شکل (3)الف،نیاز داریم که شامل هیچ یالی از شکل (3)الف نباشد. مطابق شکل (3)ب،چنین زیر گرافی وجود دارد.

شکل(4)،نشان می دهد که چگونه می توان این مکعب ها را با توجه به اطلاعات ارائه شده به وسیله ی زیر گراف های شکل (3) مرتب کنیم.

به طور کلی به ازای هر چهار مکعب دلخواه، یک گراف نشان دار می سازیم و می کوشیم که در آن دو زیر گراف چنان بیابیم که:
1- هر زیر گراف شامل هر 4 راس باشد و به ازای هر نشان به کار رفته، یک یال ،یعنی روی هم 4 یال داشته باشد.
2- در هر زیر گراف،هر راس دقیقا"روی دو یال قرار داشته باشد.(طوقه دو بار به حساب می آید.)
3- هیچ یال نشان دار گراف،نشان دار هم زمان در هر دو زیر گراف نباشد.

منبع :كتاب ریاضیات گسسته و تركیبیاتی
نویسنده : رالف .پ.گریمالدی

• شکل زیر مربع است و از راس C,D نیم دایره ای کشیده شده است مساحت قسمت رنگی چه قدر است؟

جایزه‌ی نوبل و ریاضی دانان:

آلفرد نوبل (1896-1833) در سوئد به دنیا آمد و در روسیه بزرگ شد، او شیمی و فن آوری را در فرانسه و ایالات متحده آموخت. نوبل مخترع دینامیت بود.

از سال 1901 نوبل جایزه‌ای را بنیان نهاد كه در پنج رشته‌ی فیزیك، شیمی، فیزیولوژی یا پزشكی، ادبیات و صلح هر ساله اهدا می‌شود كه به نام خود او نامیده شد.

در سال 1968، جایزه‌ی ششم در اقتصاد به این جایزه ها اضافه شد و توسط بانك سوئد به مناسبت جشن سیصدمین سالگردش اهدا گردید.

نسرین و پدرش برای خرید میوه به میوه‌فروشی رفتند. آقای مغازه‌دار مقداری میوه را داخل كیسه ی پلاستیكی ریخت و آن را روی یك كفه‌ی ترازو قرار داد. سپس در كفه‌ی دیگر ترازو چند وزنه قرار داد. زمانی كه تعداد وزنه‌ها را تغییر می‌داد كفه‌های ترازو بالا و پایین می‌رفتند. آقای مغازه‌دار آن قدر وزنه‌ها را تغییر داد تا بالاخره دو كفه ی ترازو با یكدیگر برابر شدند. نسرین با تعجب به ترازو نگاه كرد و از پدرش پرسید: «پدر! چرا وقتی كه دو كفه‌ی ترازو بالا و پایین می‌روند، میوه‌ها از كفه ی ترازو بیرون نمی‌افتند؟» پدر لبخندی زد و گفت:« به شكل ترازو خوب نگاه كن!» سپس شكل ترازو را روی كاغذ كشید و این طور ادامه داد:

دو كفه ی ترازو بر میله‌هایی كه به‌ آن‌ها متصل شده‌اند، عمودند. به نظر تو شكل (الف ب ج د) چه شكلی است؟ نسرین جواب داد:« ضلع های روبه‌روی این چهار ضلعی با هم موازی (و مساوی) هستند پس (الف ب ج د) یك متوازی‌الاضلاع است.» پدر گفت:«آفرین! وقتی جسمی را داخل یك كفه ی ترازو قرار می‌دهیم و داخل كفه ی دیگر،وزنه‌ها را تغییر می‌دهیم، دو كفه بالا و پایین می‌روند. اما دو میله‌ی (الف ب) و (ج د) [كه دو ضلع روبه‌روی متوازی‌الاضلاع هستند] با پاره‌خط (م ن) موازی هستند.["م" وسط (الف د) و "ن" وسط (ب ج) است.] و پاره‌خط (م ن) هم همیشه بر سطح زمین عمود است. پس (الف ب) و (ج د) همیشه بر سطح زمین عمود هستند. قبلاً گفتم كه دو كفه‌ی ترازو هم بر دو میله‌ی (الف ب) و (ج د) عمودند.بنابراین دو كفه‌ی ترازو همیشه در حالت افقی باقی می‌مانند و هر چقدر هم كه ترازو بالا و پایین برود، جسم از داخل كفه ی ترازو بیرون نمی‌افتد. حالا بگو ببینم اگر به جای میوه یك ظرف آب داخل ترازو باشد چه اتفاقی می‌افتد؟ نسرین كه راز ترازو را كشف كرده بود،جواب داد:«خاصیت متوازی ‌الاضلاع در ترازو كمك می كند با بالا و پایین رفتن كفه ها، آب نریزد چون دو كفه‌ی ترازو همیشه در حالت افقی هستند.»

مكان هندسی:مجموعه ی نقاطی(از صفحه یا فضا) كه در یك یا چند شرط،صدق می كنند را مكان هندسی گویند.

عمود منصف:مكان هندسی نقاطی از صفحه كه از دو سر یك پاره خط به یك فاصله هستند.(عمود منصف یك خط است.) 

روش رسم:دهانه ی پرگار را به اندازه ی بیش تر از نصف طول پاره خط باز كرده،به مركزهای دو سر پاره خط،دو كمان می زنیم.خط گذرا از نقاط تلاقی این دو كمان،عمود منصف پاره خط مزبور است.  

دایره:مكان هندسی نقاطی از صفحه كه از نقطه ی O به فاصله ی r هستند.نقطه ی O را مركز و r را شعاع دایره گویند. 

كره:مكان هندسی نقاطی از فضا كه از نقطه ی O به فاصله ی r هستند.نقطه ی O را مركز و r را شعاع كره گویند.

كمان در خور:مكان هندسی نقاطی از صفحه كه از آن ها پاره خط AB به یك زاویه دیده می شود.

نیمساز:مكان هندسی نقاطی از صفحه كه از دو ضلع یك زاویه به یك فاصله هستند. 

پس از آشنایی با مفهوم مكان هندسی و ارائه ی چند مثال،اكنون چند سوال به همراه پاسخ هایشان را مطرح می كنیم:

1-مكان هندسی نقاطی از صفحه كه از خطی به فاصله ی d هستند،چیست؟

پاسخ:دو خط موازی به فاصله ی d در طرفین خط مزبور.

2-استوانه،مكان هندسی چه نقاطی است؟ 

پاسخ:استوانه ای به شعاع قاعده ی d،مكان هندسی نقاطی از فضا است كه از پاره خطی به فاصله ی d هستند.

3-مكان هندسی نقاطی از صفحه كه از دو خط موازی به یك فاصله هستند،چیست؟

پاسخ:خط موازی با آن دو خط كه در وسط آن ها قرار گرفته است.

4-مكان هندسی نقاطی از صفحه كه از دو محور مختصات به یك فاصله هستند،چیست؟

پاسخ:نیمسازهای "ربع های اول وسوم" و "ربع های دوم و چهارم".در این مثال،مكان هندسی از دو خط عمود بر هم تشكیل شده است.

5-مكان هندسی مركزهای دایره هایی كه در نقطه ی P از خط l بر l مماس هستند،چیست؟

پاسخ:خط عمود بر l در نقطه ی P .

6-مكان هندسی مركزهای دایره هایی به شعاع r كه بر دایره ای به مركز O و شعاع R مماس خارجی(داخلی،R>r) هستند،چیست؟

پاسخ:دایره ی به مركز O و شعاع R+r    .(شعاع R-r ). 

از جمله مكان های هندسی مهم دیگر در صفحه،می توان به سهمی،بیضی و هذلولی اشاره كرد كه در آینده با آن ها به طور كامل آشنا خواهید شد.

افقی
1 - اگر nضلعی منتظم محاط در دایره به شعاع R دارای مساحت  باشد،nبرابرچند است - عددهای ناصفرb ، a وc تصاعدی حسابی تشکیل می دهند .اگر1واحدبهaیا2واحدبهcبیفزاییم تصاعدی هندسی به دست می آید.دراین صورت bبرابر چنداست؟

6- درمثلث ABD زاویه یB قائمه است . نقطه ی C رویAD به طوری است که AC=CD, AB=BC  زاویه یDABچند درجه است ؟

روز تولدتان را در 20 ضرب كنید و با 77جمع كنید، مجموع را پنج برابر كنید وبا عددی كه ماه تولد شما را نشان می دهد جمع كنید. این مجموع را در 20ضرب كنید و دوباره با 77 جمع كنید. نتیجه را در 5 ضرب كنید و دو رقم سمت راست سال تولدتان را به آن اضافه كنید .آن چه را به دست می آید به من بگوئیدتا من تاریخ دقیق تولد شما را بگویم!

راه حل این است كه عدد 38885 را از نتیجه ای كه به دست آمده كم می كنیم:
رقم های ظاهر شده به ترتیب از راست به چپ:دو رقم اول سال، دو رقم بعدی ماه ودو رقم آخر روز تولد را نشان می دهند.
مثلا" فرض كنید كسی در 5 خرداد سال 1351 متولد شده باشد اگر عمل های لازم را انجام دهیم چنین می شود:

دقیقا" تاریخ تولد را نشان می دهد كه   است.

منبع :كتاب در پی فیثاغورث
MARTIN GARDNER

جدول كاكرو(Kakuro):جدول كاكرو جدولی عددی متقاطع است كه در حل آن بایستی نكات زیر را رعایت نمود:

1)در هر مربع خالی،یكی از اعداد 1 تا 9 را قرار دهید.

2)مجموع اعداد هر ردیف(ستون) بایستی برابر عددی كه در سمت چپ ردیف(در بالای ستون)قرار دارد،شود.

3)در هیچ ردیف(ستون)عدد تكراری نباشد.

در این جا توجه شما را به یك جدول كاكرو به همراه حل آن جلب می كنیم:

اكنون سعی كنید جدول كاكروی زیر را حل كنید.حل این جدول تا پایان هفته از نظر شما خواهد گذشت:

***

***

***

 توپ قرمز پلاستیكی

توپ قرمزی را به ریاضی دان ، فیزیك دان و مهندسی می دهند تا حجم آن را تعیین كنند.
ریاضی دان شعاع آن را با خط كش محاسبه می كند.
فیزیك دان توپ را در یك ظرف مدرج آب می اندازد و...

مهندس:" تقریبا" 3 است".

 اعداد اول

از یك ریاضی دان ، مهندس و فیزیك دان می خواهند تا بررسی كنند آیا تمام اعداد فرد اولند.
ریاضی دان می گوید:3 اول است ، 5 اول است ،7 اول است ولی 9 اول نیست.پس یك مثال نقض داریم و قضیه درست نیست.
مهندس می گوید: 3 اول است ، 5 اول است ، 7 اول است ، 9 اول است ، 11 اول است.خوب همه ی اعداد فرد اول هستند.
فیزیك دان می گوید: 3 اول است،5 اول است،7 اول است،9 خطای آزمایش است ،11 اول است و خوب با دقتی كه داریم ، می توانیم بگوییم همه ی اعداد فرد اولند.

 محاسبه ی حد

روزی معلم پای تابلو حد زیر را نوشت و از یكی از دانش آموزان خواست تا آن را محاسبه كند.

 

1. حاصل ضرب اعداد طبیعی از 1 تا 30 را Xمی نامیم اگر Xرا به حاصل ضرب اعداد اول تجزیه کنیم توان 3 در این تجزیه کدام است ؟

• 9
• 12
• 13
• 14